データのまとめ方と基本統計量

なぜ平均だけでは足りないのか

2つの工程があって、どちらも製品の重さの平均が100gだったとします。片方は99〜101gに収まっていて、もう片方は90〜110gまで散らばっている。平均は同じでも、品質としてはまったく別物です。

品質管理が見ているのは、この「散らばり」＝ばらつきのほうです。だから平均を出したら、必ずばらつきも数値にします。3級で出てくる統計量は、ほとんどがばらつきを表すためのものです。

計算の順番は決まっている

ばらつきを表す値はいくつもありますが、バラバラに覚える必要はありません。次の順番でつながっています。

平均 → 平方和 → 不偏分散 → 標準偏差。前の結果を次で使うので、途中で止まると先に進めません。逆に言えば、この順に手を動かせば必ず答えにたどり着きます。

電卓では平方和をこう出すと速い

平均との差を1つずつ計算するのは、データが増えると大変です。実務でも試験でも、次の式のほうが速く計算できます。

S = Σx² − (Σx)² ÷ n

先ほどの例で確かめてみます。Σx² は 102² + 98² + 101² + 99² + 100² = 10404 + 9604 + 10201 + 9801 + 10000 = 50010。(Σx)² ÷ n は 500² ÷ 5 = 250000 ÷ 5 = 50000。差は 50010 − 50000 = 10 で、先ほどと同じ値になりました。

データを一度入力するだけで済むので、桁数の多いデータではこちらが圧倒的に速くなります。

なぜ n − 1 で割るのか

手元にあるのは、母集団（作られたすべての製品）から取り出した一部＝サンプルです。サンプルのばらつきは、母集団のばらつきより小さめに出る性質があります。

そのまま n で割ると、母集団のばらつきを実際より小さく見積もってしまいます。これを補正するために、少し小さい数（n − 1）で割って値を大きめに出します。これが不偏分散です。

3級では理由を問われることは多くありません。「n − 1 で割る」を取り違えないことのほうがはるかに重要です。

データの種類も押さえておく

計算に入る前に、扱っているデータがどちらなのかを見分けます。使える手法が変わります。

メディアンと最頻値は、並べ替えれば出る

中心を表す値は平均だけではありません。データを小さい順に並べたときの真ん中の値をメディアン（中央値）、最も多く現れる値を最頻値（モード）といいます。どちらも計算というより、並べ替えと数え上げで求まります。

平均は外れ値に引っぱられます。5 人の年収で 1 人だけ桁違いに高ければ、平均は残り 4 人の実感から離れます。メディアンは並べた順番で決まるので、端の値がどれだけ大きくても動きません。外れ値を含むデータの中心を見たいときはメディアンを使います。

データの変換で桁を落とすと、手計算が速くなる

100.2、100.5、99.8 のように桁が大きく差が小さいデータは、そのまま2乗すると計算が重くなります。基準値 a を引いて単位 h で割った x′ = ( x − a ) ÷ h に変換してから計算し、最後に戻す方法をデータの変換といいます。

戻し方は2つだけです。平均は x̄ = a + h × x̄′、標準偏差は s = h × s′。平方和と分散は h² 倍になります。範囲 R も h 倍です。

サンプリングには必ず誤差が残る

母集団のすべてを測ることはできないので、一部をサンプルとして取り出します。この取り出す行為がサンプリングです。サンプルから母集団を推定する以上、サンプルの取り方で結果は変わります。

同じ母集団から取っても、サンプルごとに平均や標準偏差は少しずつ違います。この違いをサンプリング誤差といいます。測定器のずれや読み取りのばらつきによる測定誤差とは別のもので、測定が完璧でもサンプリング誤差はゼロになりません。データの誤差の分散は、サンプリング誤差の分散と測定誤差の分散の和になります。

サンプリング誤差を小さくする基本は、母集団のどの部分も同じ確率で選ばれるように取ることです。これをランダムサンプリングといいます。取りやすい上のほうだけ、最初のロットだけ、という取り方は、母集団を代表しないサンプルになります。

サンプリングの種類は2級の範囲ですが、3級でも「ランダム」の意味を問う形で出ます。名前と取り方をまとめておきます。