正規分布と標準化・二項分布

正規分布はどんな形か

同じ条件で作った製品の寸法を大量に測ってヒストグラムにすると、多くの場合は平均のあたりが最も高く、左右対称に減っていく釣鐘型になります。これを正規分布といいます。

正規分布は、平均 μ（ミュー）と標準偏差 σ（シグマ）の2つだけで形が決まります。μ が位置を、σ が広がりを決めます。

覚えておくべき3つの割合

正規分布では、平均から標準偏差いくつ分の範囲に全体の何%が入るかが決まっています。

ここが他の分野につながっている

±3σ にほぼ全体（99.7%）が入る、という性質は、3級のあちこちで顔を出します。

管理図の管理限界線が中心線から±3σの位置にあるのは、工程が正常なら点はまずこの中に収まるはずだ、という考え方だからです。外に出たら「偶然ではない何かが起きた」と判断します。

工程能力指数の分母が 6s なのも同じです。−3σ から +3σ までの幅が 6σ なので、これを「工程が実際に出している幅」とみなして規格の幅と比べています。

つまり正規分布を理解しておくと、管理図と工程能力指数の式が丸暗記ではなくなります。

標準化して表を引く

正規分布は μ と σ の組合せだけ無数にあるので、そのままでは確率の表を作れません。そこで、どんな正規分布でも平均0・標準偏差1の形に変換します。これが標準化（規準化）です。

u = ( x − μ ) ÷ σ

変換して得た u を正規分布表で引くと、その先にある確率が読めます。手順は「標準化する → 表を引く」の2段階だけです。

2点の間の確率と、確率から値を逆引きする手順

例題は上側だけの確率でしたが、試験には「a と b の間に入る確率」と「上側 5% になる値はいくつか」の2つの形も出ます。どちらも標準化と表の読み方は同じで、使い方が一手ずつ増えるだけです。

2点の間の確率は、全体 1 から両側のはみ出しを引きます。両端をそれぞれ標準化し、表から上側確率を2つ読んで、1 − (左のはみ出し) − (右のはみ出し) とします。左側は対称性を使って、u の絶対値で表を引きます。

逆引きは、表を逆向きに使います。問題で与えられた確率に対応する u を表から探し、x = μ + u × σ で元の単位に戻します。よく使う値は表を引かなくても出せるよう、覚えておくと速くなります。

二項分布はどんなときに使うか

正規分布は連続した値（計量値）の分布でした。これに対して、合格か不合格か、良品か不適合品かのように2つに分かれる結果を数えるときに使うのが二項分布です。

P(x) = nCx × p^x × ( 1 − p )^( n − x )

n は取り出した個数、p は不適合品率、x は不適合品の個数です。

二項分布の平均と分散

二項分布では、平均と分散が式1本で出ます。

平均 = n p ／ 分散 = n p ( 1 − p )

np管理図の中心線が n p̄、管理限界線の幅が 3√( n p̄ ( 1 − p̄ ) ) になっているのは、この平均と分散をそのまま使っているためです。ここでも式のつながりが見えます。