検定と推定の手順

例題：調整後の工程で平均がずれたか（σ既知）

ある部品の長さは、目標値 50.0 mm、工程の標準偏差 σ = 0.8 mm で安定していました。設備を調整した後に 16 個を測ったところ、平均は 50.5 mm でした。平均は変わったといえますか（有意水準 5%）。

1. ① 仮説を立てる H₀：μ = 50.0　　H₁：μ ≠ 50.0（両側） 「変わったか」なので方向を決めず両側にします。
2. ② 有意水準を決める α = 0.05
3. ③ 検定統計量を計算する u₀ = ( 50.5 − 50.0 ) ÷ ( 0.8 ÷ √16 ) = 0.5 ÷ 0.2 = 2.5 分母は σ ではなく σ ÷ √n です。ここで √n を忘れると 0.625 になり結論が逆転します。
4. ④ 棄却限界と比べる 両側 5% の限界値は 1.96。 |u₀| = 2.5 > 1.96
5. ⑤ 結論 H₀を棄却する。平均は 50.0 mm から変わったといえる。

答え：u₀ = 2.5 で有意水準 5% で有意。調整後の平均は目標値からずれている

よくある間違い：「棄却できない」を「差がないことが証明された」と書かないでください。棄却できないのは、差があるとは言い切れなかっただけです。

例題：σが分からない場合の同じ検定

同じ工程で、σ は不明とします。9 個を測ったところ、平均 50.5 mm、標本の標準偏差 s = 0.9 mm でした。平均は 50.0 mm から変わったといえますか（有意水準 5%）。

1. ① 検定統計量を計算する t₀ = ( 50.5 − 50.0 ) ÷ ( 0.9 ÷ √9 ) = 0.5 ÷ 0.3 ≒ 1.67
2. ② 自由度を出す φ = n − 1 = 9 − 1 = 8
3. ③ t 表から限界値を引く t(8, 0.05)（両側）= 2.306 同じ 5% でも、正規分布の 1.96 より大きい値になります。データが少ないほど限界値は大きくなります。
4. ④ 比べて結論 |t₀| = 1.67 < 2.306　→　H₀は棄却できない

答え：t₀ ≒ 1.67 で有意ではない。平均が変わったとは言い切れない

よくある間違い：σ既知の例題と数値はほぼ同じなのに結論が変わりました。データが 16 個から 9 個に減り、σ を推定で置き換えたぶん、判定が慎重になったためです。

例題：母平均の 95% 信頼区間（σ既知）

最初の例題と同じデータです。σ = 0.8、n = 16、x̄ = 50.5。母平均の 95% 信頼区間を求めます。

1. ① 標準誤差を出す σ ÷ √n = 0.8 ÷ 4 = 0.2
2. ② 幅を出す 1.96 × 0.2 = 0.392
3. ③ 区間にする 50.5 ± 0.392　→　50.108 〜 50.892（mm）

答え：50.11 〜 50.89 mm。この区間に目標値 50.0 が入っていない

よくある間違い：区間に 50.0 が含まれないことと、検定で H₀ が棄却されたことは同じ内容です。検定と推定は別の道具ではなく、同じ計算の表と裏です。

例題：不適合品率が 5% から変わったか

不適合品率 5% で安定していた工程を改造した後、400 個を検査したところ不適合品が 30 個でした。不適合品率は変わったといえますか（有意水準 5%）。あわせて改造後の母不適合品率の 95% 信頼区間を求めます。

1. ① 仮説を立てる H₀：P = 0.05　　H₁：P ≠ 0.05（両側）
2. ② 標本の不適合品率 p = 30 ÷ 400 = 0.075
3. ③ 検定統計量 u₀ = ( 0.075 − 0.05 ) ÷ √( 0.05 × 0.95 ÷ 400 ) = 0.025 ÷ 0.0109 ≒ 2.29 分母の中は仮説の P₀ = 0.05 で作ります。標本の p = 0.075 を入れるのは推定のときです。
4. ④ 判定 |u₀| = 2.29 > 1.96　→　H₀ を棄却。不適合品率は変わった（この場合は悪化した）といえる
5. ⑤ 95% 信頼区間 0.075 ± 1.96 × √( 0.075 × 0.925 ÷ 400 ) = 0.075 ± 1.96 × 0.01317 = 0.075 ± 0.0258　→　0.049 〜 0.101

答え：u₀ ≒ 2.29 で有意。改造後の母不適合品率は 95% 信頼区間で 4.9% 〜 10.1%

よくある間違い：検定では P₀、推定では p と、分母に入れる値が違います。この例では検定は棄却されたのに、信頼区間（4.9%〜10.1%）には 0.05 がわずかに入っています。母平均のときのように検定と区間がぴったり対応しないのは、分母の作り方が違うためです。

例題：2 台の機械で不適合品率に差があるか

機械 A の 200 個のうち不適合品 12 個、機械 B の 200 個のうち不適合品 4 個でした。機械によって不適合品率が違うといえますか（有意水準 5%）。

1. ① 期待度数を出す 不適合の合計 16 個を 2 台で分けるので、不適合の期待度数は各 8 個、適合の期待度数は各 192 個
2. ② ずれの 2 乗 ÷ 期待度数を合計する χ₀² = ( 12 − 8 )² ÷ 8 + ( 4 − 8 )² ÷ 8 + ( 188 − 192 )² ÷ 192 + ( 196 − 192 )² ÷ 192 = 2 + 2 + 0.083 + 0.083 ≒ 4.17
3. ③ 自由度と限界値 φ = ( 2 − 1 ) × ( 2 − 1 ) = 1　　χ²( 1, 0.05 ) = 3.84
4. ④ 判定 4.17 > 3.84　→　H₀（機械と不適合は無関係）を棄却。機械によって不適合品率が違うといえる

答え：χ₀² ≒ 4.17 で有意。機械 A のほうが不適合品率が高い

よくある間違い：適合側のセルを忘れて不適合側の 2 つだけを足す誤りがあります。分割表の χ² はすべてのセルを足します。この例では適合側の寄与は小さいですが、期待度数が小さいときは効いてきます。