相関分析と単回帰分析の計算

例題：加熱時間と硬さの相関係数

加熱時間 x（分）と製品の硬さ y を 5 組測りました。x = 1, 2, 3, 4, 5、y = 3, 5, 4, 6, 7 です。

1. ① 平均を出す x̄ = 15 ÷ 5 = 3　　ȳ = 25 ÷ 5 = 5
2. ② 偏差を並べる x − x̄ ： −2, −1, 0, 1, 2　　y − ȳ ： −2, 0, −1, 1, 2
3. ③ 平方和と積和を出す Sxx = 4+1+0+1+4 = 10　Syy = 4+0+1+1+4 = 10　Sxy = 4+0+0+1+4 = 9 Sxy の各項は偏差どうしの積です。(−2)×(−2) = 4、(−1)×0 = 0、0×(−1) = 0、1×1 = 1、2×2 = 4。
4. ④ 相関係数を出す r = Sxy ÷ √( Sxx × Syy ) = 9 ÷ √( 10 × 10 ) = 9 ÷ 10 = 0.9

答え：r = 0.9。強い正の相関

よくある間違い：分母を Sxx だけにすると 0.9 のまま同じ値になって気づけませんが、それは偶然です（この例題では Sxx = Syy のため）。分母は必ず √(Sxx × Syy) です。

例題：同じデータで回帰直線と寄与率を求める

Sxx = 10、Sxy = 9、x̄ = 3、ȳ = 5、r = 0.9 は求めてあります。

1. ① 傾きを出す b = Sxy ÷ Sxx = 9 ÷ 10 = 0.9 相関係数と同じ 0.9 になったのは Sxx = Syy だからで、普通は一致しません。
2. ② 切片を出す a = ȳ − b x̄ = 5 − 0.9 × 3 = 5 − 2.7 = 2.3
3. ③ 回帰式を書く y = 2.3 + 0.9 x
4. ④ 寄与率を出す R² = r² = 0.9² = 0.81 硬さのばらつきの 81% を加熱時間で説明できる、という意味です。
5. ⑤ 予測に使う x = 6 のとき　y = 2.3 + 0.9 × 6 = 7.7 データの範囲（x = 1〜5）の外側なので、あくまで外挿です。範囲外の予測は当てにならないことがあります。

答え：y = 2.3 + 0.9x、寄与率 0.81

よくある間違い：傾きの分母を Sxy にすると 10 ÷ 9 = 1.11 になります。「x で y を説明する」ので、分母は説明する側 x の平方和 Sxx です。