二項分布とポアソン分布の使い分け

計数値には正規分布が使えない

不適合品の個数は 0, 1, 2 … と飛び飛びの値しかとりません。長さや重さのように連続していないので、正規分布をそのまま当てはめることはできません。

2級では、個数を扱う分布が2つ加わります。「n 個のうち何個が不適合か」を表す二項分布と、「一定の範囲に欠点がいくつ現れるか」を表すポアソン分布です。

二項分布は平均 np、分散 np(1 − p)

式は2本だけです。平均は n × p、分散は n × p × (1 − p)。標準偏差は分散の平方根です。確率そのものを求めるときは、組合せの数に p と (1 − p) の累乗を掛けます。

p が小さく n が大きければ、ポアソン分布で近似できる

ポアソン分布は平均 λ だけで形が決まり、分散も λ に等しいのが特徴です。二項分布で p が小さく n が大きいとき、λ = np と置けばポアソン分布でほぼ同じ確率が出ます。

上の例題を λ = 2 のポアソン分布で計算すると、P(0) = e⁻² ≒ 0.135、P(1) = 2e⁻² ≒ 0.271、合わせて 0.406 です。二項分布の 0.401 とほとんど変わりません。

ポアソン分布が本領を発揮するのは、n が定まらない場面です。「1 ㎡の塗装面にキズが何個あるか」には n がありません。この欠点数を扱えるのがポアソン分布です。

n が大きければ、正規分布でも近似できる

二項分布は n が大きくなると左右対称に近づき、平均 np・標準偏差 √np(1 − p) の正規分布で近似できます。p 管理図や np 管理図の管理限界を「平均 ± 3σ」で引けるのは、この近似があるからです。

たとえば n = 400、p = 0.1 なら平均 40、標準偏差 √(400 × 0.1 × 0.9) = 6 です。不適合品が 52 個以上出る確率は、u = (52 − 40) ÷ 6 = 2.0 で、正規分布表から約 2.3% と読めます。

分散の加法性：足しても引いても、分散は足す

部品 A と部品 B を重ねた高さのばらつきはいくつか。この問いに答えるのが分散の加法性です。独立な2つの値を足したとき、平均は平均の和、分散は分散の和になります。引き算のときも、平均は差になりますが分散は和のままです。標準偏差は足せません。

期待値と分散の計算規則としてまとめると、定数 a を掛けた ax の平均は a 倍、分散は a² 倍になります。この a² を忘れて a 倍にする誤りが多いので、分散は「2乗の世界」と覚えておきます。

標本平均の分散が σ² ÷ n になるのも、この規則から出ます。n 個の和の分散は nσ²、それを n で割った平均の分散は nσ² ÷ n² = σ² ÷ n です。n を増やすほど平均のぶれが小さくなり、母平均に近づいていく性質を大数の法則といいます。

標本平均の分布と中心極限定理

検定と推定の前提になる考え方です。母集団の標準偏差が σ のとき、大きさ n の標本の平均は、標準偏差 σ ÷ √n でばらつきます。データを増やすほど平均のぶれが小さくなる、という関係です。

さらに、母集団が正規分布でなくても、n が十分大きければ標本平均の分布は正規分布に近づきます。これが中心極限定理で、計数値のデータでも n を大きくとれば正規分布の道具が使える根拠になっています。